QC - Hallitse kvanttilaskentaa yhtenäisten operaattoreiden kanssa, häiriöt ja takertuminen

Kuva: Sagar Dani

Loistava. Valmisimme juuri osan 2 Qubitilla (Quantum bit - ydin rakennuspalikka kvanttilaskennalle). Joten miten voimme hallita sitä? Toisin kuin klassinen laskenta, emme sovella loogisia operaatioita tai yleistä aritmetiikkaa kviteihin. Kvanttilaskennassa ei ole "while-lausetta" tai "haarautuvia lauseita". Sen sijaan kehitämme yhtenäisiä operaattoreita manipuloimaan kvittejä häiriöiden periaatteella kvantimekaniikassa. Ääni fancy, mutta oikeastaan ​​hyvin suoraviivainen. Tutkimme yhtenäisten operaattoreiden käsitettä. Sivuhuomautuksena tarkastelemme sen suhdetta Schrodinger-yhtälöön, joten emme suunnittele luonnonvastaista konseptia. Viimeinkin tutkimme takertumista, mystistä kvantti-ilmiötä.

Kvanttiportit

Klassisissa tietokoneissa käytämme loogisia perusoperaattoreita (EI, NAND, XOR, JA, TAI) biteihin monimutkaisten toimintojen muodostamiseksi. Seuraava on esimerkiksi yhden bittinen summain, jolla on kanto.

Kvantitietokoneissa on täysin erilaisia ​​perusoperaattoreita, joita kutsutaan kvanttiporteiksi. Emme käännä olemassa olevaa C ++ -ohjelmaa uudelleen suorittamaan kvantitietokoneella. Molemmilla on erilaiset operaattorit ja kvanttilaskenta vaatii erilaisia ​​algoritmeja niiden hyödyntämiseksi. Kvanttilaskennassa on kyse kvittien manipuloinnista, niiden takertamisesta ja mittaamisesta. Palataan takaisin Bloch-palloon. Käsitteellisesti kvantitoiminnot manipuloivat superpositiota Φ ja θ pisteiden siirtämiseksi yksikköpallojen pintaa pitkin.

Matemaattisesti ottaen superpositiota manipuloidaan lineaarisella operaattorilla U matriisin muodossa.

Yhden sekunnin operaattori on yksinkertaisesti 2 × 2 -matriisi.

Schrodinger-yhtälö (valinnainen)

Luonto näyttää naiivasti yksinkertaiselta! Matematiikka on vain lineaarista algebraa, jonka opimme lukiossa. Mittausten välillä lineaariset operaattorit manipuloivat tiloja matriisin kertolaskelman avulla. Mitattaessa superpositio romahtaa. Ironista kyllä, lineaarisuus on suuri pettymys sci-fi-faneille. Tämä on kvantidynamiikan yleinen ominaisuus. Muuten aikamatka tai valoa nopeammat matkat ovat kaikki mahdollisia. Jos aloitamme tällä lineaarisella operaattorilla (tarkkaan yhtenäisen operaattorin avulla), voimme johtaa Schrodingerin yhtälön, joka on kvanttimekaniikan kulmakivi, kun kuvataan, kuinka tilat kehittyvät kvanttimekaniikassa. Päinvastaisesta näkökulmasta katsottuna Schrodingerin yhtälö päättelee luonnon lineaarisuuden.

Lähde

Täällä voimme kirjoittaa Schrodingerin yhtälön uudella

missä H on erakmilainen. Se osoittaa, kuinka tilat kehittyvät luonnossa lineaarisesti.

Yhtälö on lineaarinen, ts. Jos molemmat ψ1 ja ψ2 ovat kelvollisia ratkaisuja Schrodingerin yhtälölle,

sen lineaarinen yhdistelmä on yhtälön yleinen ratkaisu.

Jos | 0⟩ ja | 1⟩ ovat järjestelmän mahdollisia tiloja, sen lineaarinen yhdistelmä on sen yleinen tila - se on superpositioperiaate kvanttilaskennassa.

yhtenäinen

Fyysinen maailma ei salli kaikkia mahdollisia lineaarisia operaattoreita. Käyttäjän on oltava yhtenäinen ja täytettävä seuraavat vaatimukset.

missä U † on U: n transponoitu, kompleksi konjugaatti. Esimerkiksi:

Matemaattisesti yhtenäinen operaattori säilyttää normit. Tämä on hieno ominaisuus pitää kokonaistodennäköisyys yhtä kuin tilatilanmuutoksen jälkeen ja pitää superpositio yksikköpallon pinnalla.

Jos tarkastelemme alla olevaa ratkaisua Schrodinger-yhtälöön, luonto noudattaa samaa yhtenäistä sääntöä. H on erakmiitti (siirretty monimutkainen konjugaatti emiitti on yhtä suuri kuin itse). Operaattorin kertominen transponoidulla kompleksi-konjugaatilla on sama kuin identtisyysmatriisi.

Seuraava on esimerkki H: sta, jossa z-suunnassa on tasainen magneettikenttä E₀.

Yksittäisen toiminnan kohdistaminen | ψ⟩ -sovellukseen johtaa kiertymiseen z-akselilla.

Mutta mikä on yhtenäisen todellinen merkitys todellisessa maailmassa? Se tarkoittaa, että operaatiot ovat palautuvia. Kaikille mahdollisille operaatioille on toinen, joka voi kumota toiminnon. Aivan kuten elokuvan katselu, voit toistaa sitä eteenpäin, ja luonto sallii vastaavansa U †: n toistaa videota taaksepäin. Itse asiassa et ehkä huomaa pelaatko videota eteenpäin vai taaksepäin. Lähes kaikki fyysiset lait ovat ajan palautuvia. Muutamia poikkeuksia ovat kvantidynamiikan mittaus ja termodynamiikan toinen laki. Kvanttialgoritmin suunnittelussa tämä on erittäin tärkeää. Klassisen tietokoneen yksinomainen TAI-toiminto (XOR) ei ole palautuva. Tiedot menetetään. Kun lähtö on 1, emme voi erottaa onko alkuperäinen tulo (0, 1) vai (1, 0).

Kvanttilaskennassa kutsumme operaattoreita kvanttiporteiksi. Suunnitellessamme kvanttiporttia varmistamme, että se on yhtenäinen, ts. On toinen kvanttiportti, joka voi kääntää tilan takaisin alkuperäiseen. Tämä on tärkeää, koska

jos operaattori on yhtenäinen, se voidaan toteuttaa kvantitietokoneessa.

Kun yhtenäinen on todistettu, insinööreillä ei pitäisi olla ongelmia sen toteuttamisessa, ainakaan teoreettisesti. Esimerkiksi, suprajohtavista piireistä koostuvat IBM Q-tietokoneet käyttävät eri taajuuden ja keston omaavia mikroaaltopulsseja ohjatakseen kvitejä Bloch-pallon pinnan pitkin.

Yhtenäisen saavuttamiseksi lähetämme joskus osan tulosta tämän vaatimuksen täyttämiseksi, kuten alla oleva, vaikka se näyttää tarpeettomalta.

Katsotaanpa yksi yleisimmistä kvanttiporteista, Hadamard-portti, jonka lineaarioperaattori on määritelty seuraavaksi matriisiksi.

tai Dirac-merkinnässä

Kun sovellamme operaattoria ylä- ja alalinko-tilaan, muutamme superpositiot:

Jos se mitataan, molemmilla on yhtä suuret mahdollisuudet pyöriä ylös tai pyöriä alas. Jos käytämme porttia uudelleen, se palaa alkuperäiseen tilaan.

Lähde

ts. Hadamardin siirretty konjugaatti on itse Hadamard-portti.

Kun käytämme UU †, se palauttaa alkuperäisen syötteen.

Siksi Hadamardin portti on yhtenäinen.

Kvanttilaskenta perustuu häiriöihin ja takertumiseen. Vaikka ymmärrämme kvantitietojen laskemisen matemaattisesti ymmärtämättä näitä ilmiöitä, demonstroidaan se nopeasti.

häiriö

Aallot häiritsevät toisiaan rakentavasti tai tuhoavasti. Lähtö voidaan esimerkiksi suurentaa tai tasoittaa tuloaaltojen suhteellisesta vaiheesta riippuen.

Mikä on häiriöiden merkitys kvanttilaskennassa? Tehdään kokeita.

Mach Zehnder -interferometri (lähde)

Ensimmäisessä kokeessa valmistelemme kaikki saapuvat fotonit polarisaatiotilaksi | 0⟩. Tämä polarisoituneiden fotonien virta jakaantuu tasaisesti säteenjakajan B asennolla 45 °, ts. Se jakaa säteen kahteen ortogonaalisesti polarisoituun valoon ja poistuu erillisistä reiteistä. Sitten käytämme peilejä heijastamaan fotonit kahteen erilliseen ilmaisimeen ja mittaamaan voimakkuuden. Klassisen mekaniikan näkökulmasta fotonit jakautuvat kahteen erilliseen polkuun ja osuvat ilmaisimiin tasaisesti.

Yllä olevassa toisessa kokeessa laitoimme toisen palkinjakajan ilmaisimien eteen. Intuition mukaan säteenjakajat toimivat toisistaan ​​riippumattomasti ja jakavat valovirran kahteen osaan. Molempien ilmaisimien tulisi havaita puolet valonsäteistä. Todennäköisyys, että fotoni saavuttaa ilmaisimen D₀ punaisella 1-tiellä, on:

Fotonin kokonaismahdollisuus saavuttaa D₀ on 1/2 joko 1- tai 0-reitistä. Joten molemmat ilmaisimet havaitsevat puolet fotoneista.

Mutta se ei vastaa kokeellista tulosta! Vain D₀ havaitsee valon. Mallinetaan tilavaihtelu palkkijakajalle Hadamard-portilla. Joten ensimmäisessä kokeessa fotonitila jakajan jälkeen on

Kun se mitataan, puolet niistä on | 0⟩ ja puolet | 1⟩. Valonsäteet on jaettu tasaisesti kahteen eri polkuun. Joten Hadamard-porttimme vastaa klassista laskelmaa. Mutta katsotaanpa mitä tapahtui toisessa kokeessa. Kuten edellä on esitetty, jos valmistelemme kaikki sisääntulot fotonit | 0⟩: ksi ja siirrämme ne kahteen Hadamard-porttiin, kaikki fotonit ovat taas | 0⟩. Joten kun se mitataan, vain D₀ havaitsee valonsäteen. Mikään ei saavuta arvoa D long niin kauan kuin emme suorita mittauksia ennen molempia ilmaisimia. Kokeet vahvistavat, että kvanttilaskelma on oikea, ei klassinen laskelma. Katsotaan kuinka häiriöillä on rooli tässä toisessa Hadamard-portissa.

Kuten alla esitetään, saman laskentaperustan komponentit häiritsevät rakentavasti tai tuhoavasti toisiaan oikean koetuloksen tuottamiseksi.

Voimme valmistella tulon fotonisäteen olevan | 1⟩ ja tehdä laskelma uudelleen. Ensimmäisen jakajan jälkeinen tila on erilainen kuin alkuperäinen, vaiheella π. Joten jos mittaamme nyt, molemmat kokeet suorittavat samat mittaukset.

Sovellettaessa Hadamard-porttia taas, yksi tuottaa | 0⟩ ja toinen tuottaa | 1⟩. Häiriö tuottaa monimutkaisia ​​mahdollisuuksia.

Sallikaa minun tehdä vielä yksi hauska kokeilu, jolla on erittäin merkittävä vaikutus kyberturvallisuuteen.

Jos laitamme toisen ilmaisimen Dx ensimmäisen jakajan jälkeen, kokeilu osoittaa, että molemmat ilmaisimet havaitsevat nyt puolet fotoneista. Vastaako se kvantimekaniikan laskelmaa? Alla olevassa yhtälössä, kun lisäämme mittauksen ensimmäisen jakajan jälkeen, pakotamme romahtamaan superpositiota. Lopullinen tulos on erilainen kuin yksi ilman ylimääräistä ilmaisinta ja vastaa kokeellista tulosta.

Luonto kertoo meille, että jos tiedät, mitä tietä fotoni kulkee, molemmat ilmaisimet havaitsevat puolet fotoneista. Itse asiassa voimme saavuttaa tämän vain yhdellä ilmaisimella vain yhdellä polulla. Jos mittausta ei suoriteta ennen molempia ilmaisimia, kaikki fotonit päätyvät ilmaisimeen D₀, jos fotoni on valmistettu | 0⟩: ksi. Jälleen intuitio johtaa meidät väärään johtopäätökseen, kun taas kvanttiyhtälöt ovat edelleen luotettavia.

Tällä ilmiöllä on yksi kriittinen merkitys. Lisämittaus tuhoaa alkuperäisen häiriön esimerkissämme. Järjestelmän tila muuttuu mittauksen jälkeen. Tämä on yksi tärkeimmistä motiivista kvantisalaustekijöiden taustalla. Voit suunnitella algoritmin siten, että jos hakkeri tarttuu (mittaa) viestin sinun ja lähettäjän välillä, voit havaita tällaisen tunkeutumisen riippumatta siitä kuinka helppo mittaus voi olla. Koska mittauksen malli on erilainen, jos se sieppataan. Kloonaamaton lause kvantimekaniikassa väittää, että kvanttitilaa ei voida kopioida tarkasti. Joten hakkeri ei voi kopioida ja lähettää alkuperäistä viestiä uudelleen.

Kvanttisimulaation lisäksi

Jos olet fyysikko, voit hyödyntää kvanttiporttien häiriökäyttäytymistä simuloidaksesi samaa häiriötä atomimaailmoissa. Klassiset menetelmät toimivat todennäköisyystoteorialla, jonka arvot ovat suurempia tai yhtä suuret kuin nolla. Se edellyttää itsenäisyyttä, mikä ei ole totta kokeissa.

Kvanttimekanismi väittää, että tämä malli on väärä ja tuo käyttöön mallin, jolla on monimutkaiset ja negatiiviset numerot. Todennäköisyyden teorian sijasta se käyttää häiriöitä mallintamaan ongelmaa.

Joten mitä hyötyä se tuo ei-fyysikolle? Häiriöitä voidaan käsitellä samalla mekanismilla kuin yhtenäistä operaattoria. Se voidaan toteuttaa helposti kvantitietokoneessa. Matemaattisesti yksikköoperaattori on matriisi. Kun kvittien lukumäärä kasvaa, saamme kertoimien eksponentiaalisen kasvun, jolla voimme pelata. Tämän yhtenäisen operaattorin (häiriö fyysikkojen silmissä) avulla voimme manipuloida kaikkia näitä kertoimia yhdellä operaatiolla, joka avaa oven massiivisiin datamanipulaatioihin.

kietoutuminen

Yleensä tutkijat uskovat, että ilman takertumista kvantialgoritmit eivät pysty osoittamaan ylivoimaisuutta klassisiin algoritmeihin nähden. Valitettavasti emme ymmärrä syitä hyvin, ja siksi emme tiedä kuinka räätälöidä algoritmi sen kaikkien potentiaalien hyödyntämiseksi. Siksi takertumista mainitaan usein kvanttilaskentaa otettaessa käyttöön, mutta ei paljon sen jälkeen. Tästä syystä selitämme tässä osassa takertumista. Toivottavasti olet tiedemies rikkomaan salaisuuden.

Harkitse 2-kvittisen superpositiota.

missä | 10> tarkoittaa kahta hiukkasta, jotka ovat ala- ja ylälinkoissa.

Harkitse seuraavaa yhdistelmätilaa:

Voimmeko jakaa komposiittitilan takaisin kahteen yksittäiseen tilaan, kuten

Emme voi, koska se vaatii:

Kvanttimekaniikka osoittaa yhden ei-intuitiivisen käsitteen. Klassisessa mekaniikassa uskomme, että koko järjestelmän ymmärtäminen voidaan tehdä ymmärtämällä kumpikin alakomponentti hyvin. Mutta kvantimekaniikassa

Kuten aikaisemmin on esitetty, voimme mallintaa komposiittitilan ja tehdä mittausennusteita täydellisesti.

Emme kuitenkaan voi kuvata tai ymmärtää sitä kahdeksi itsenäiseksi komponentiksi.

Kuvittelen tämän skenaarion parina, joka on naimisissa 50 vuotta. He ovat aina yhtä mieltä siitä, mitä tehdä, mutta et löydä vastauksia, kun heitä kohdellaan erillisinä henkilöinä. Tämä on liian yksinkertaistettu skenaario. Mahdollisia takertumistiloja on monia

ja on paljon vaikeampaa kuvailla niitä, kun kappaleiden lukumäärä kasvaa. Kun suoritamme kvantioperaatioita, tiedämme kuinka komponentit korreloivat (takertuvat). Mutta ennen mittauksia tarkat arvot pysyvät avoimina. Entanglement tuottaa korrelaatiot, jotka ovat paljon rikkaampia ja todennäköisesti paljon vaikeampia, jotta klassinen algoritmi jäljittelisi tehokkaasti.

Seuraava

Nyt tiedämme kuinka manipuloida kvitejä yhtenäisillä operaatioilla. Mutta niille, jotka ovat kiinnostuneita kvantialgoritmeista, meidän pitäisi tietää, mikä on ensin rajoitus. Muutoin saatat unohtaa, mitkä asiat ovat vaikeita kvanttilaskennassa. Mutta niille, jotka haluavat tietää enemmän kvanttiportista, voit lukea toisen artikkelin ennen ensimmäistä.